El teorema de Pitagoras.

Su Historia.

El Teorema de Pitágoras lleva este nombre porque su descubrimiento recae sobre la escuela pitagórica. Anteriormente, en Mesopotamia y el Antiguo Egipto se conocían ternas de valores que se correspondían con los lados de un triángulo rectángulo, y se utilizaban para resolver problemas referentes a los citados triángulos, tal como se indica en algunas tablillas y papiros. Sin embargo, no ha perdurado ningún documento que exponga teóricamente su relación. La pirámide de Kefrén, datada en el siglo XXVI a.C  fue la primera gran pirámide que se construyó basándose en el llamado triángulo sagrado egipcio, de proporciones 3-4-5.

Teorema de Pitágoras

(En todo triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos).

Establece que en un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa (el lado de mayor longitud del triángulo rectángulo) es igual a la suma de los cuadrados de los catetos (los dos lados menores del triángulo, los que conforman el ángulo recto).

 supuestas demostraciones de pitagoras:

Se estima que se demostró el teorema mediante semejanza de triángulos: sus lados homólogos son proporcionales.^[]

Sea el triángulo ABC, rectángulo en C. El segmento CH es la altura relativa a la hipotenusa, en la que determina los segmentos a’ y b’, proyecciones en ella de los catetos a y b, respectivamente.

Los triángulos rectángulos ABC, AHC y BHC tienen sus tres bases iguales: todos tienen dos bases en común, y los ángulos agudos son iguales bien por ser comunes, bien por tener sus lados perpendiculares. En consecuencia dichos triángulos son semejantes.

• De la semejanza entre ABC y AHC:

y dos triángulos son semejantes si hay dos o más ángulos congruentes.

   

• De la semejanza entre ABC y BHC:

Los resultados obtenidos son el teorema del cateto. Sumando:

pero,por lo que finalmente resulta:

                                                                                                                                          

Lo básico que debemos conocer:

¿Que es un ángulo?

Un ángulo es la proporción de un plano comprendida entre dos semirrectas que tienen el mismo origen o vértice, es decir es una figura geométrica formada por 2 semirrectas que se cortan.

¿ Que es un triángulo?

Un triángulo es un polígono de tres lados, determinado por 3 segmentos de rectas que se denomina lados o 3 puntos no alineados llamados vértice, es decir es una figura geométrica compuesta de 3 lados.

¿Cuales son las medidas de los ángulos?

Radianes o Radian: es la unidad de ángulo plano. Representa el ángulo central en un circunferencia y abarca un arco cuya longitud es igual a la de radio su símbolo es (rad).

Minutos y segundos: cada grado se divide en 6o partes y cada parte se llama minuto, cada minuto se divide en 60 partes  cada parte se llama segundo.


Grado sexagesimal:  es el ángulo central subtendido por un arco cuya longitud es igual a 1/360 de la circunferencia, es la nonagésima 1/90 parte de un ángulo recto.

Teniendo en cuenta estas características se puede decir que:


el símbolo de grado es °, el de minuto es ´, y el de segundo es ". Las medidas en radianes se expresan con una abreviatura rad o sin ningún símbolo, por tanto 61°,28´,42,14"=1,073 rad=1,073. Se sobreentiende que el ultimo valor es en radianes.


¿Cuales son las semejanzas entre los triángulos?

Criterios que permiten determinar si dos triángulos son semejantes:


1. Dos triángulos ABC y DFE son semejantes si cada ángulo interno  de ABC es congruente a un ángulo interno del triángulo DEF.

<  BAC = < EDF      < ABC = DEF   < BCA = EFD.


Los triángulos ABC y DEF son semejantes se utiliza el símbolo ~ : ABC ~ DEF.


Dado un triángulo ABC cualquiera, una ve que se conocen las medidas de dos de sus ángulos internos, la medida del tercero queda determinada.

Como la suma de tres ángulos internos de ABC es igual a 180°, se tiene lo siguiente:


x + 45° + 30°  = 180°
x = 180° - (45°+30°)
x = 105


Es decir, si cualquier otro triángulo DEF tiene dos de sus ángulos internos con medidas 30° y 45°, el ángulo restante tiene que medir también 105° . Por eso basta con tener la información sobre las medidas de dos de sus ángulos para determinar si el triángulo DEF sera semejante a ABC.


2. Dos triángulos son semejantes si dos ángulos internos de uno de ellos son congruentes a dos ángulos internos del otro.
Ejemplo:  si dos triángulos son rectángulos, basta con que uno de sus ángulos agudos no sea igual a uno de los ángulos agudo del otro, puesto que ya tienen ambos un ángulo recto:

ABC ~ DEF porque ambos son rectángulos y ambos tienen un ángulo agudo = 60°, esto obliga a que los 3 ángulos internos de ABC sean iguales a los de DEF.


< BAC = < EDF = 90°
< ABC = < DEF = 60°
< BCA = < EFD = 30°

3. Dos triángulos ABC y DEF son semejantes si:

Es decir ABC  ~ DEF si las proporciones entre los lados del triángulo ABC son iguales a las que hay entre los lados del triángulo DEF. También suele decirse, cuando esto ocurre que ABC y DEF, tienen lados proporcionales.

Razones trigonometricas.

Indaguemos cuales son las razones trigonométricas:

Razones trigonométricas en un triángulo rectángulo.

El seno del ángulo B es la razón entre el cateto opuesto al ángulo y la hipotenusa, se reconoce por (sen B).

El coseno del ángulo B es la razón entre el cateto contiguo al al ángulo y la hipotenusa, se reconoce por (cos B).

La tangente del ángulo B es la razón entre el cateto opuesto al ángulo y el cateto contiguo al ángulo, se reconoce por (tg B).

La cosecante del ángulo B es la razón inversa del seno de B, se reconoce como (cosec B).

La secante del ángulo B es la razón inversa del coseno de B, se reconoce por ( sec b).

La cotangente del ángulo B es la razón inversa de la tangente de B, se reconoce por ( cotg B).

La trigonometria y su historia

¿Qué es la trigonometría?

La trigonometría es una rama de la matemática, que  se encarga del estudio de las relaciones  entre los lados y ángulos de los triángulos. Sus principales ramas son:


Trigonometría plana: es la que se ocupa de las figuras contenidas en plano.

Trigonometría esférica: es la que se ocupa de triángulos que forman parte de la superficie de una esfera.

En términos generales, la trigonometría es el estudio de las razones trigonométricas como : seno coseno, tangente, cotangente, entre otras. Interviene directa o indirectamente en las demás ramas de la matemática y se aplica en todos aquellos ámbitos donde se requieren medidas de precisión.


Conozcamos la historia de la trigonometría.


La trigonometría podemos ubicarla a inicios de las primeras matemáticas conocidas en Babilonia y Egipto, la misma fue desarrollada en 4 fases de su historia:

·         La trigonometría desarrolladas por los egipcios.

·         La trigonometría desarrollada por los árabes.

·         Trigonometría en occidente.

·         Trigonometría moderna.

La trigonometría desarrolladas por los egipcios.

Los egipcios establecieron la medida de ángulos en grados, minutos y segundos. En el siglo II antes de cristo. El astrónomo Hiparco de Nicea construyo una tabla trigonométrica  para resolver triángulos. (Esta tabla es parecida a la moderna tabla del seno).

300 años mas tarde el astrónomo Tolomeo utilizo un (radio) r=60, pues los griegos adoptaron el sistema numérico sexagesimal (base 60) de los Babilonios.

Tolomeo incorporo en su gran libro de astronomía el almagesto, con un error menor que  1/3.600 de unidad.

     La trigonometría desarrollada por los árabes.

A finales del siglo VIII los astrónomos árabes habían recibido la herencia de las tradiciones de Grecia  y de la india, y prefirieron trabajar con la función seno. En las últimas décadas del siglo X ya habían completado la función seno y las otra 5 funciones. Descubrieron varios teoremas fundamentales de la trigonometría tanto para triángulos planos como triángulos esféricos.

Los árabes también realizaron tablas con exactitud. Calcularon tablas precisas con división sexagesimal.

Buzadjami matemático que introdujo otro nombre, la tangente y la secante al lado del seno. También proviene del teorema de Menelao.

Trigonometría en occidente.

El occidente latino se familiarizo con la trigonometría araba através de traducciones de libros de astronomía arábigos, que comenzaron a aparecer en el siglo VII.

·         El primer trabajo importante fue “DE TRIANGULUS” por el alemas Johann Muller.

·         El astrónomo alemán Georges Joachim, introdujo en concepto moderno de funciones como proporciones en vez de longitudes de ciertas líneas.

·         Francois Viéte incorporo el triángulo polar en la trigonometría esférica y encontró formulas para expresar las funciones de ángulos.

Trigonometría moderna.

En el siglo XVII Isaac Newton invento el cálculo diferencial e integral, su fundamento fue la representación de muchas  funciones matemáticas, las cuales fueron incorporada al análisis donde hoy desempeñan una gran labor en matemáticas puras como en las aplicadas.

En el siglo XVIII Leonardo fue el que fundo verdaderamente la trigonometría moderna. Definió las razones trigonométricas  utilizando expresiones con exponenciales de números complejos también dio el uso de las letras minúsculas (a.b.c.)  en los lados de un triángulo plano esférico y mayúsculas (A, B, C)  en los lados opuestos.

¿ La trigonometria solamente esta en las matematicas?

¿LA TRIGONOMETRÍA SOLAMENTE ESTA EN LA MATEMÁTICA?

La trigonometría no solamente puede ser identificada con la matemática, también podemos conocerla y relacionarla con muchas otras materias (ciencias),  con las que se trabajan diariamente, algunas de ellas es en la astronomía, la geodesia, entre otras.

Por ejemplo:

La técnica de la triangulación se utiliza en astronomía para medir la distancia a las estrellas cercanas.

En la geografía para medir distancias entre puntos de referencia, y en los sistemas de navegación por satélite.

 En la topografia  funciona para tomar mediciones con la estación total, es necesaria para hacer «levantamiento de un terreno» y representarlo gráficamente en un plano con una escala determinada.

Toda magnitud física que sea vectorial implica tener que hallar las componentes del vector (para lo cual se utiliza seno y coseno) o hallar el módulo del vector a partir de las componentes (para lo cual se usa Pitágoras y tangente).